1. Combinatorial Analysis

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Jun 26, 2023

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1. 조합 분석

[핵심 확률/통계] Combinatorial Analysis

조합, 순열에 대한 기본 개념과 예제에 대해 설명한다.

https://www.youtube.com/watch?v=Kdz3uQ-o4g8&list=PLpIPLT0Pf7IqS4as3nefPyGv94r2aY6IT&index=23

Experiment 실험

통계적 관점에서의 실험 = 데이터를 생성해 내는 모든 과정

ex) 동전을 던짐

The Basic Principle of Counting 카운팅에 대한 기본원리

= 분석의 기본

두 실험을 한다고 가정

첫 번째 실험: m개의 가능한 결과

두 번째 실험: m개 각각에 대해 n개의 가능한 결과

두 가지 실험으로부터 나올 수 있는 총 경우의 수는? ➡️ m x n

곱셈의 법칙으로 이루어져 있음

총 가능한 결과의 경우의 수 = 각각의 실험으로부터 나올 수 있는 경우의 수

EX1) 주택개발업자가 옵션을 제공했다고 가정 외부 인테리어 네 가지 선택권, 바닥제 스타일 세 가지 경우 ➡️ 4 x 3

EX2) 1~4학년 중 각각 학년으로부터 1명씩 골라서 4명으로 구성된 위원회를 만들 예정 위원회를 구성할 수 있는 총 자본 수는 몇 가지?

1학년: 10명

2학년: 22명

3학년: 13명

4학년: 2명

How many committees?

10 x 22 x 13 x 2 = 5,720

EX3) 컴퓨터 유저네임을 3개의 알파벳, 5개의 숫자로 구성

a~z → 20가지

0~9 → 10가지

가능한 유저네임 수?

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1,757,600,000

중복(repetition)을 허용하지 않는다면?

26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 471,744,000

Permutation 순열

어떤 것을 나열한 수 → 순서를 고려(각각의 개체가 구별 가능하다고 가정)

EX) a, b, c를 나열할 때 순서를 고려한 가지 수

3 x 2 x 1 = 6가지

💡

순서를 고려해서 나열하는 방법의 경우의 수

순서를 고려하지 않으면 한 가지

EX) 10명의 농구선수 중 1학년 1명, 2학년 2명, 3학년 4명, 4학년 5명

💡

n개 에서 서로 다른 그룹이 있을 때의 순열(중복을 고려한 순열)

조합

n개의 개체에서 r개의 개체를 뽑아 순서를 고려하지 않을 경우의 수

💡

EX1) 12명 중에 3명 뽑고 남은 9명 중 4명 뽑고 남은 5명 중 5명 뽑을 경우의 수? ➡️ 중복을 고려한 순열과 같게 됨

➡️

EX2) 한 팩의 카드에서 랜덤으로 네 장의 카드를 뽑는다고 가정했을 때, 2개의 K카드와 2개의 Q카드를 뽑을 가능성

4개의 카드를 선택

4개의 K카드에서 2개의 K, 4개의 Q카드에서 2개의 Q

ANSWER

100,000번 뽑았을 때 13번 뽑을 수 있다.

이항정리

= Binomial coefficient

Pascal’s Triangle 파스칼의 삼각형

각 단의 숫자는 이항정리 전개식의 계수가 된다. (맨 윗줄의 1은 제외)

Multinomial Coefficients 다항계수

이항계수의 확장개념

10명 중에 5명 순찰 2명 경찰서 3명 대기